Autor prezentacji: Pani dr Dorota Jakubczyk Prof. PRz
Prezentacja dotyczyła analizy najważniejszych własności oraz uogólnień modelu Hubbarda. Model ten opisuje układ oddziałujących elektronów w krysztale dla przypadku ciasnego wiązania. Jego szczególnym przypadkiem jest model Heisenberga. Modele te pozwalają na opis wielu zjawisk znanych w fizyce ciała stałego, jak np. nadprzewodnictwo czy ferromagnetyzm. Dokładne rozwiązania zostały uzyskane w jednym wymiarze jako tzw. ansatz Bethego. Pani prof. przedstawiła metodę rozwinięcia modelu Hubbarda bez odwoływania się do podejścia Bethego, ale z zachowaniem rygorystycznych metod teorii grup. Badanie modeli teoretycznych prowadzących do dokładnych a nie przybliżonych rozwiązań jest szczególnie użyteczne np. w informatyce kwantowej.
W swojej prezentacji Pani prof. omówiła sposób uogólnienia hamiltonianu w modelu Hubbarda, poprzez dodanie członu opisującego cząstki zlokalizowane, uwzględniając oddziaływanie nie tylko pomiędzy najbliższymi ale także kolejnymi cząstkami w węzłach sieci. Do opisu matematycznego wykorzystywany jest aparat drugiej kwantyzacji, przy czym bierze się pod uwagę przypadki o ustalonej liczbie węzłów oraz periodyczne warunki brzegowe. Analiza członów hamiltonianu w reprezentacjach pędowych i położeniowych prowadzi do związku pomiędzy operatorami kreacji kwazipędu a operatorami kreacji cząstek w przestrzeni.
Szczegółowa technika opisu stanów polega na konstrukcji przestrzeni Hilberta jako iloczynu tensorowego tzw. przestrzeni jednowęzłowych, a następnie na analizie podprzestrzeni z taką samą liczbą elektronów co węzłów (tzw. obsadzenie połowiczne). Jest to przypadek, w którym model Hubbarda przechodzi w model Heisenberga. Pani prof. przedstawiła własności symetrii translacyjnej, spinowej i pseudospinowej, uwzględniając także wyniki autorskie dotyczące uogólnień warunków przechodzenia do modelu Heisenberga. Omówiona została możliwość konstrukcji przestrzeni ze spinowymi i pseudospinowymi liczbami kwantowymi. W przypadku dwoistości Schura-Weyla korzysta się z własności symetrii grup działających na przestrzeń Hilberta, wykorzystując nieprzywiedlne reprezentacje grupy symetrycznej do opisu symetrii grupy unitarnej. Grupa symetryczna dokonuje permutacji obsadzeń węzłów, natomiast grupa unitarna opisuje obroty unitarne.
Podczas prezentacji przedstawiony został sposób rozkładu początkowej przestrzeni Hilberta na sumę prostą podprzestrzeni spinowej i pseudospinowej z ustaloną liczbą elektronów. Omówiono również zagadnienie otrzymywania przestrzeni tranzytywnej, stanowiącej w modelu Heisenberga odpowiednik przestrzeni Hilberta oraz partycję podprzestrzeni jednowęzłowych dla jednowymiarowego łańcucha.
