Autor prezentacji : dr Tomasz Szczepański
Seminarium poświęcone było omówieniu pewnych wybranych aspektów teorii mnogości, które są użyteczne przy opisie układów kwantowych. Teoria ta jest przedmiotem dużego zainteresowania w kontekście możliwego wykorzystania na potrzeby informatyki kwantowej. Jej zastosowanie obejmuje zarówno konstrukcje teorii fizycznych, jak i umożliwia pełniejszy opis teorii już znanych.
Teoria mnogości stanowi zasadniczą strukturę modeli dedukcyjnych, oraz jest elementem logiki będącej fundamentem matematycznego opisu zjawisk fizycznych. Do budowy aparatu matematycznego układów klasycznych wykorzystuje się formalizm oparty na aksjomatach Zermela-Fraenkla. Z kolei pewne uogólnienia samego pojęcia zbioru pozwalają na szerszy opis wielu zagadnień, także w ramach teorii nieklasycznych np. w mechanice kwantowej. Wśród najważniejszych osiągnięć takiego podejścia można wymienić zastosowanie teorii toposów do opisu układów kwantowych (Döring, Isham).
W prezentacji przedstawiłem wyniki możliwego wykorzystania teorii mnogości na potrzeby logiki kwantowej w oparciu o publikacje Masanao Ozawy. Autor ten badał własności uogólnień klasycznej teorii mnogości w postaci teorii zbiorów kwantowych (QST), a także przeanalizował wnioski wynikające ze stosowania reguł logiki kwantowej pod kątem jej zgodności z wcześniejszymi wersjami teorii zbiorów. Wykorzystał definicję quasi-zbioru stosowaną w pracach Krause’go, jako struktury złożonej z elementów nierozróżnialnych, tzw. m-atomów, stanowiących odpowiednik kwantowych cząstek identycznych, obok M-atomów, odpowiadających cząstkom klasycznym. Punktem wyjścia były zmodyfikowane definicje kwantyfikatorów logicznych, autorstwa Takeuti’ego. Metoda ta pozwoliła na odtworzenie a nawet szersze ujęcie wielu zagadnień mechaniki kwantowej, takich jak postulat Borna, związek spinu ze statystyką, czy reguły komutacji operatorów. Do określenia komutatorów w ramach QST wykorzystano definicję alternatywy wykluczającej. Spełniona jest wówczas zasada transferu, która orzeka, iż każda wartość logiczna formuły elementów wziętych z pewnego uniwersum jest ograniczona przez komutator tych elementów. Okazuje się jednak, że w teorii tej nie obowiązują prawa De Morgana.
Ozawa zmodyfikował definicję kwantyfikatora egzystencjalnego oraz regułę przynależności elementów do zbioru kwantowego w taki sposób, aby spełniona była zarówno zasada transferu jak i prawa De Morgana. W prezentacji omówiłem główne elementy tej modyfikacji polegające na zastosowaniu tzw. gwiazdki Sasakiego, oraz strzałki Sasakiego, występującej także w definicji operatora ogólnego Takeutiego. Stanowią one odpowiednik koniunkcji oraz implikacji w QST. Do ich zdefiniowania wykorzystuje się własność zbiorów zwaną ortokomplementarnością, dla której zachodzi analogiczny zestaw reguł jak dla klasycznej negacji. Ozawa przeanalizował też własności zbiorów z logiką kwantową pod kątem zawierania dwuwartościowej logiki Boole’a, odnoszącej się do układów klasycznych. Odpowiednie formuły oraz dowody twierdzeń są wyrażone w postaci wartości logicznych z wykorzystaniem związków pomiędzy ograniczonymi i nieograniczonymi kwantyfikatorami. Podczas Seminarium przedstawiłem schematy dowodów niektórych twierdzeń pozwalających na wykazanie zgodności definicji tych kwantyfikatorów z prawami De Morgana. Omówiłem zasadnicze elementy pewnych uogólnień zbiorów klasycznych na przykładzie teorii modeli oraz takich pojęć jak filtry i ultrafiltry, a także przytoczyłem niektóre wyniki twierdzeń dotyczących ultrafiltrów, jak np. twierdzenie Tarskiego.
Analiza wniosków pozwala stwierdzić istotną rolę kwantyfikatora ogólnego, a także koniunkcji i negacji w definiowaniu operacji logicznych z wykorzystaniem pojęć pierwotnych, oraz kwantyfikatora egzystencjalnego i sumy logicznej jako operacji zdefiniowanych w celu uniknięcia niejednoznaczności teorii. Określenie zakresu uogólnień jakie należy poczynić w celu rozwinięcia aparatu logiki kwantowej powinno być zgodne z najważniejszymi wynikami pracy autorstwa Birkhoffa i von Neumanna z 1936 r.
Na podstawie kwantowych odpowiedników klasycznych definicji teorii zbiorów, Ozawa przestudiował wiele możliwych par operatorów Sasakiego. Pozwoliło to na skonstruowanie 36 teorii spełniających zasadę transferu, oraz 6 spełniających zarówno zasadę transferu jak i prawa De Morgana. Można sądzić, że analiza wniosków wynikających z tych teorii będzie istotnym elementem dalszych badań.
Źródło do opracowania prezentacji: M. Ozawa, Quantum Set Theories Satisfying Both the Transfer Principle and De Morgan’s Laws (QPL 2020).
